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Fluid Mechanics Fundamentals and applications 3rd edition.Chpater.5 Bernoulli and Energy equationsp.200 Derivation of the Bernoulli equation $$\sum{F_{s}} = m\vec{a}_{s}$$ $$P\,dA-(P+dP)dA-W\sin\theta = m\vec{a}_{s}$$ 2023.08.03 - [전공공부/공학수학] - 편미분, 전미분, 완전미분 편미분, 전미분, 완전미분수학은 안타깝게도 서양에서 온 학문이다. 그러다보니 한국어로 바꾸면 전미분과 완전미분처럼 얼핏 비슷해 보이는 개념들이 존재한다. 그리고 편미분은 다양한 변수를 함께 고려해야 하는 공myarchive01.tistory.com..

동역학이나 일반기계기사, 그리고 회전 운동을 통해 금속을 가공하는 기계공작법에서 자주 등장하는 단위이다. 아래 식에서 분자는 \(r\) 만큼의 반지름을 가진 원판이 N번 회전할 경우를 의미하므로 거리가 되며, 아래는 1분을 60초로 표시한 것이므로 1분 동안 회전 운동을 할 수 있는 어떤 장치가 얼마 만큼의 거리를 만들어냈는지 즉, 돌았는지를 의미하므로 곧 속도가 된다. $$\vec{v}=\dfrac{2\pi r\cdot N}{60} \,\,[\rm{m/s}]$$ 그리고 만약 'meter per seconds'가 아니라 'meter per minute'이라면 아래와 같아진다. $$\vec{v}=2\pi r \cdot N \,\,[\rm{m/min}] $$ 그리고 이유는 알 수 없지만 기계가공에서는 밀리미..

결과적으로 물리 현상을 설명하는 것이 우리의 목적이므로 물리적인 방향에서 발산 정리를 이해해보자. 우선 플럭스(flux) 개념에 따라 단위면적 당 수직으로 나가는 성분만을 모아준다. $$\int_{S}{\vec{u}dA} = \int_{S}{\vec{u}\cdot\vec{n}dA}$$ 그리고 플럭스 개념을 미소검사체적(infinitesimal volume)에 적용한다. $$\vec{u}_{\rm{in}}\,dA = \vec{u}_{\rm{out}}\,dA$$ $$\vec{u}_{\rm{in}}\,(dy\,dz) = \vec{u}_{\rm{out}}\,(dy\,dz)$$ 위 식에서 알 수 있듯이 문제를 간단하게 하고자 정육면체 중에서 두 개의 마주보는 면만 다루었다. 그리고 위 식에 테일러 전개를 적용해주..

$$\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial u_{r}}{\partial r}\right) - \dfrac{u_{r}}{r^{2}} = \dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}(r\,u_{r})\right)$$ Left term $$\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial u_{r}}{\partial r}\right) = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u_{r}}{\partial r} + \dfrac{1}{r}\cdot r \dfrac{\partia..

Start from linear momentum equation with Reynolds Transport Theorem (p.252) $$\int_{\rm{CV}}{\rho \vec{g} dV} + \int_{\rm{CS}}{\sigma_{ij}\cdot\vec{n}dA} = \int_{\rm{CV}}{\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)dV} + \int_{\rm{CS}}{\rho \vec{v} \vec{v} \cdot \vec{n} dA}\,\cdots (1)$$ For who want to know how to derive equation \((1)\) Link: Extended Divergence Theorem: $$\int_{\rm{CS..

$$\vec{V}\cdot(\rho\,\vec{V}\vec{V}) = \vec{V}\,\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{V})+\rho(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}$$ 위 식은 유체역학에서 코시 방정식으로부터 나비에-스토크스 방정식을 유도할 때 등장한다. 이때 코시 방정식을 유도하는 과정에서 가우스 정리(발산 정리) 또는 미소검사체적을 두고 코시 방정식을 유도할 때 등장하는 2계 텐서를 전개하는 과정에서 위 식이 다뤄진다. 아래 복잡하게 기술된 식들은 한눈에 보아서는 왜 저렇게 분해하는지 이해가 되질 않아 공부한 내용을 정리해 둔 것이다. 일단 우리가 전개하고자 하는 좌변을 살펴본다. $$\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac..

뉴턴의 제2법칙(Lex secunda)를 사용하여 코시 방정식(Cauchy's equation)을 도출하는 법이다. 보통 대수학을 잘한다면 가우스의 정리(발산정리) 또는 미소체적을 사용하여 간결하게 코시 방정식을 유도할 수 있다. 다만, 나는 대수학(algebra)을 잘하는 편이 아니므로 대수학을 사용하지 않고자 뉴턴의 제2법칙으로 유도하는 법을 선호한다. 지난 글에서 우리는 가속도를 세련되게 표현하는 법을 배웠다. 2023.09.18 - [전공공부/유체역학] - 물질 도함수(material derivative) $$\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\v..

수학을 잘한다면 운동량 보존 법칙을 유도하는 가장 간단한 방법 또는 가장 세련된 방법은 '레이놀즈 수송 정리(Reynolds Transport Theorem, RTT)'와 '발산 정리(divergence theorem)'를 사용하는 것이다. 그러나 나는 수학을 잘 못하는 편이라서 미소 검사체적을 사용하는 방식이 제일 편하고 이해가 잘 된다. 그래서 미소 검사체적을 사용해 표면력을 수학적으로 표현하고자 한다. 그러나 이 또한 '테일러 급수 전개(Taylor series expansion)' 정도의 수학 지식은 필요하다. 그러나 여기서는 물리적으로 수학을 하나의 도구로 다루는 것이기에 엄밀한 수학적 논리는 잠시 내려놓고 간단하게 테일러 전개를 표현해보았다. 테일러 급수 전개 $$\frac{u(x+dx,\, ..

도함수 이해하기 이번 글에서는 아래 식이 어떻게 도출되는지 다룰 것이다. 목적은 Cauchy's equation을 Navier-Stokes equation으로 전개할 때 사용하기 위해서이다. $$\rho \frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho\left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\left(\vec{V}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{V}\right]$$ 시공간에 한 입자가 있을 때 그 입자가 가진 속도에 대해 생각해 보자. 입자는 시간 \(t\) 과 공간 \((x, y, z)\) 에 있으므로 속도는 아래와 같이 표현할 수 있다. $$\vec{V}(t) = \vec{V}(x(t), y(t), z(t), t)$$ 이번에는 가속도를 생각해 보자..

역카르노 사이클은 분명 간단하고 이상적이지만 냉동사이클의 이상 사이클로서는 적합하지 않다. 그 이유에 대해 아래 그래프를 보며 살펴보도록 하자. 아래 그래프를 기준으로 1에서 2로 냉매가 열을 빼앗아 오는 과정(증발기)와 3에서 4로 열을 방출하는 과정(응축기)은 실제 증발기, 압축기에 근접하게 구현할 수 있으므로 문제가 되지 않는다. 문제는 다상 혼합물(액체와 기체 상태가 혼재되어 있는 경우)을 다뤄야 하는 2-3 과정과 3