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Fluid Mechanics Fundamentals and applications 3rd edition.Chpater.5 Bernoulli and Energy equationsp.200 Derivation of the Bernoulli equation $$\sum{F_{s}} = m\vec{a}_{s}$$ $$P\,dA-(P+dP)dA-W\sin\theta = m\vec{a}_{s}$$ 2023.08.03 - [전공공부/공학수학] - 편미분, 전미분, 완전미분 편미분, 전미분, 완전미분수학은 안타깝게도 서양에서 온 학문이다. 그러다보니 한국어로 바꾸면 전미분과 완전미분처럼 얼핏 비슷해 보이는 개념들이 존재한다. 그리고 편미분은 다양한 변수를 함께 고려해야 하는 공myarchive01.tistory.com..

$$\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial u_{r}}{\partial r}\right) - \dfrac{u_{r}}{r^{2}} = \dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}(r\,u_{r})\right)$$ Left term $$\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial u_{r}}{\partial r}\right) = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u_{r}}{\partial r} + \dfrac{1}{r}\cdot r \dfrac{\partia..

Start from linear momentum equation with Reynolds Transport Theorem (p.252) $$\int_{\rm{CV}}{\rho \vec{g} dV} + \int_{\rm{CS}}{\sigma_{ij}\cdot\vec{n}dA} = \int_{\rm{CV}}{\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)dV} + \int_{\rm{CS}}{\rho \vec{v} \vec{v} \cdot \vec{n} dA}\,\cdots (1)$$ For who want to know how to derive equation \((1)\) Link: Extended Divergence Theorem: $$\int_{\rm{CS..

$$\begin{aligned}\sigma & = \left(\lambda + \frac{2}{3}\mu\right)\left(\vec{\nabla}\cdot \vec{u}\right) \pmb{I}+ \mu\left\{ \vec{\nabla}\vec{u} + \left(\vec{\nabla}\vec{u}\right)^{\rm{T}} - \frac{2}{3}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u}) \pmb{I} \right\}\\ \\ & = \left(\lambda + \frac{2}{3}\mu\right) \left(\vec{\nabla}\vec{u}\right) \pmb{I} - \frac{2}{3}\mu\left(\vec{\nabla}\vec{u}\right)\pmb{I} + \mu \ve..

$$\vec{V}\cdot(\rho\,\vec{V}\vec{V}) = \vec{V}\,\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{V})+\rho(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}$$ 위 식은 유체역학에서 코시 방정식으로부터 나비에-스토크스 방정식을 유도할 때 등장한다. 이때 코시 방정식을 유도하는 과정에서 가우스 정리(발산 정리) 또는 미소검사체적을 두고 코시 방정식을 유도할 때 등장하는 2계 텐서를 전개하는 과정에서 위 식이 다뤄진다. 아래 복잡하게 기술된 식들은 한눈에 보아서는 왜 저렇게 분해하는지 이해가 되질 않아 공부한 내용을 정리해 둔 것이다. 일단 우리가 전개하고자 하는 좌변을 살펴본다. $$\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac..

뉴턴의 제2법칙(Lex secunda)를 사용하여 코시 방정식(Cauchy's equation)을 도출하는 법이다. 보통 대수학을 잘한다면 가우스의 정리(발산정리) 또는 미소체적을 사용하여 간결하게 코시 방정식을 유도할 수 있다. 다만, 나는 대수학(algebra)을 잘하는 편이 아니므로 대수학을 사용하지 않고자 뉴턴의 제2법칙으로 유도하는 법을 선호한다. 지난 글에서 우리는 가속도를 세련되게 표현하는 법을 배웠다. 2023.09.18 - [전공공부/유체역학] - 물질 도함수(material derivative) $$\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\v..

수학을 잘한다면 운동량 보존 법칙을 유도하는 가장 간단한 방법 또는 가장 세련된 방법은 '레이놀즈 수송 정리(Reynolds Transport Theorem, RTT)'와 '발산 정리(divergence theorem)'를 사용하는 것이다. 그러나 나는 수학을 잘 못하는 편이라서 미소 검사체적을 사용하는 방식이 제일 편하고 이해가 잘 된다. 그래서 미소 검사체적을 사용해 표면력을 수학적으로 표현하고자 한다. 그러나 이 또한 '테일러 급수 전개(Taylor series expansion)' 정도의 수학 지식은 필요하다. 그러나 여기서는 물리적으로 수학을 하나의 도구로 다루는 것이기에 엄밀한 수학적 논리는 잠시 내려놓고 간단하게 테일러 전개를 표현해보았다. 테일러 급수 전개 $$\frac{u(x+dx,\, ..

도함수 이해하기 이번 글에서는 아래 식이 어떻게 도출되는지 다룰 것이다. 목적은 Cauchy's equation을 Navier-Stokes equation으로 전개할 때 사용하기 위해서이다. $$\rho \frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho\left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\left(\vec{V}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{V}\right]$$ 시공간에 한 입자가 있을 때 그 입자가 가진 속도에 대해 생각해 보자. 입자는 시간 \(t\) 과 공간 \((x, y, z)\) 에 있으므로 속도는 아래와 같이 표현할 수 있다. $$\vec{V}(t) = \vec{V}(x(t), y(t), z(t), t)$$ 이번에는 가속도를 생각해 보자..

경계층 실험은 정압(static pressure)도 측정할 수 있는 피토-정압관이 아닌 피토관을 사용하므로 전압(total pressure)만 측정할 수 있다. 그러나 아래 식을 보면 정압도 알아야 속도값을 구할 수 있음을 알 수 있다. (아무래도 교재는 피토관에서는 전압만 측정하므로 정압을 날린 것 같다.) $$P=p+\frac{1}{2}\rho \vec{v}^{2}$$ #1 점착 조건은 사용할 수 없습니다. 전압(total pressure)는 우리가 액주계를 통해 기록하였으므로 실험을 통해 얻는 값이다. 문제는 정압(static pressure)이다. 우선, 경계층 실험에서는 얻을 수 없는 값이라는 것을 잘 알고 있을 것이다. 그렇다고 해서 점착조건(no-slip condition)을 적용해 y=0 ..

기계공학 베르누이 실험을 진행하면 눈금을 어떻게 읽어야 하는지, 측정한 데이터를 어떻게 해석해야 하는지 질문이 많이 들어옵니다. 그리고 눈금은 물기둥의 높이가 아니라 공기 기둥의 높이를 측정하는 것인데 왜 공기의 밀도가 아니라 액체인 물의 밀도를 측정하는 것인지 고민하시는 분들도 계실 것 같아 관련 내용을 정리하였습니다. 위 사진은 왼쪽부터 대기압일 때의 액주계 높이, 전압을 측정하는 피토관과 연결된 액주계의 높이, 그리고 정압을 측정하는 피토관과 연결된 액주계의 높이를 보여줍니다. 이때 전압은 동일한 유선 상에 있을 경우 일정해야 합니다. 그래서 속도의 제곱 항이 들어있는 동압 항이 속도 증가에 따라 커지면 정압 항은 작아져야 합니다. 즉, 속도가 증가할 때 압력이 낮아짐에 따라 정압을 측정하는 액주계..