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Fluid Mechanics Fundamentals and applications 3rd edition.Chpater.5 Bernoulli and Energy equationsp.200 Derivation of the Bernoulli equation $$\sum{F_{s}} = m\vec{a}_{s}$$ $$P\,dA-(P+dP)dA-W\sin\theta = m\vec{a}_{s}$$ 2023.08.03 - [전공공부/공학수학] - 편미분, 전미분, 완전미분 편미분, 전미분, 완전미분수학은 안타깝게도 서양에서 온 학문이다. 그러다보니 한국어로 바꾸면 전미분과 완전미분처럼 얼핏 비슷해 보이는 개념들이 존재한다. 그리고 편미분은 다양한 변수를 함께 고려해야 하는 공myarchive01.tistory.com..

동역학이나 일반기계기사, 그리고 회전 운동을 통해 금속을 가공하는 기계공작법에서 자주 등장하는 단위이다. 아래 식에서 분자는 \(r\) 만큼의 반지름을 가진 원판이 N번 회전할 경우를 의미하므로 거리가 되며, 아래는 1분을 60초로 표시한 것이므로 1분 동안 회전 운동을 할 수 있는 어떤 장치가 얼마 만큼의 거리를 만들어냈는지 즉, 돌았는지를 의미하므로 곧 속도가 된다. $$\vec{v}=\dfrac{2\pi r\cdot N}{60} \,\,[\rm{m/s}]$$ 그리고 만약 'meter per seconds'가 아니라 'meter per minute'이라면 아래와 같아진다. $$\vec{v}=2\pi r \cdot N \,\,[\rm{m/min}] $$ 그리고 이유는 알 수 없지만 기계가공에서는 밀리미..

고등학생 때 배운 정적분은 \(f(x)\)라는 함수를 \(x=a\)부터 \(x=b\)까지 적분한 것이다. 그래서 적분한 결과는 함수 \(f(x)\) 아래의 면적을 의미한다. 그러나 역학을 공부하다보면 피적분함수가 하나 이상의 변수를 포함하는 다변수 함수 또는 벡터함수로 주어지는 경우가 등장한다. 그리고 이 과정에서 선적분(line integral)을 다루게 된다. 그리고 이를 이해하기 위해서는 선적분을 다룰 때 등장하는 각 요소를 명확하게 이해하는 것이 선행되어야 한다. #1 벡터함수(vector function)와 공간곡선(space curve) 벡터함수는 방향을 가진 함수라 생각되어 교재에 주어진 공간곡선 \(C\) 를 벡터함수라 착각하는 경우가 있다. 그러나 벡터 함수는 원점을 기준으로 방향을 가진..

결과적으로 물리 현상을 설명하는 것이 우리의 목적이므로 물리적인 방향에서 발산 정리를 이해해보자. 우선 플럭스(flux) 개념에 따라 단위면적 당 수직으로 나가는 성분만을 모아준다. $$\int_{S}{\vec{u}dA} = \int_{S}{\vec{u}\cdot\vec{n}dA}$$ 그리고 플럭스 개념을 미소검사체적(infinitesimal volume)에 적용한다. $$\vec{u}_{\rm{in}}\,dA = \vec{u}_{\rm{out}}\,dA$$ $$\vec{u}_{\rm{in}}\,(dy\,dz) = \vec{u}_{\rm{out}}\,(dy\,dz)$$ 위 식에서 알 수 있듯이 문제를 간단하게 하고자 정육면체 중에서 두 개의 마주보는 면만 다루었다. 그리고 위 식에 테일러 전개를 적용해주..

$$\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial u_{r}}{\partial r}\right) - \dfrac{u_{r}}{r^{2}} = \dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}(r\,u_{r})\right)$$ Left term $$\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial u_{r}}{\partial r}\right) = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u_{r}}{\partial r} + \dfrac{1}{r}\cdot r \dfrac{\partia..

Start from linear momentum equation with Reynolds Transport Theorem (p.252) $$\int_{\rm{CV}}{\rho \vec{g} dV} + \int_{\rm{CS}}{\sigma_{ij}\cdot\vec{n}dA} = \int_{\rm{CV}}{\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)dV} + \int_{\rm{CS}}{\rho \vec{v} \vec{v} \cdot \vec{n} dA}\,\cdots (1)$$ For who want to know how to derive equation \((1)\) Link: Extended Divergence Theorem: $$\int_{\rm{CS..

$$\begin{aligned}\sigma & = \left(\lambda + \frac{2}{3}\mu\right)\left(\vec{\nabla}\cdot \vec{u}\right) \pmb{I}+ \mu\left\{ \vec{\nabla}\vec{u} + \left(\vec{\nabla}\vec{u}\right)^{\rm{T}} - \frac{2}{3}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u}) \pmb{I} \right\}\\ \\ & = \left(\lambda + \frac{2}{3}\mu\right) \left(\vec{\nabla}\vec{u}\right) \pmb{I} - \frac{2}{3}\mu\left(\vec{\nabla}\vec{u}\right)\pmb{I} + \mu \ve..

일반적인 함수는 \(y = f(x)\)와 같이 종속변수 \(y\)가 독립변수 \(x\)에 의해 정해지지만 음함수는 아래 식처럼 두 변수 사이의 관계로 정해진다. $$x^{2} + y^{2} = 1$$ 위 음함수를 양함수로 바꾸면 아래와 같아진다. $$y^{2} = 2-x^{2} \Rightarrow y = \pm\sqrt{2-x^{2}}$$ 또 다른 예를 들자면 양함수는 아래와 같으나 $$y = -2x + 3$$ 이를 음함수로 바꾸면 아래와 같아진다. $$2x+y-3 = 0$$ 이해를 돕기 위해 책의 내용을 그대로 옮겨 적으면 아래와 같다. 관계식 \(F(x,\,y)=0\)에는 일변수 함수 \(y=f(x)\)의 의미가 내재되어 있고, 이를 일변수 함수의 음함수(implicit function)라고 한다...

$f(x) = \cos x$ $\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}} & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos(x+h) - \cos x}{h}}\\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\left\{ \dfrac{\cos x \cos h - \cos x}{h} - \dfrac{\sin x \sin h}{h}\right\}} \\ \\ & = \lim \limi..

아래 방법은 네이버에 검색하여 가장 먼저 보였던 증명 방식이다. 그림이 있으면 한결 이해가 편한데 나중에 시간이 되면 첨부할 계획이다. 나는 개인적으로 아래 방법보다 그 다음에 나오는 방식을 더 선호한다. 삼각함수의 극한은 동역학에서 각운동을 해석할 때 사용되며 원운동이 존재하는 동역학을 공부할 때 여러모로 도움이 되는 익혀두면 좋다. \(x > 0\)일 때, $$\sin x < x < \tan x$$ $$\frac{\sin x}{\sin x} < \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x}$$ $$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}$$ $$1 = \lim \limit..