물질 도함수(material derivative)

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도함수 이해하기

이번 글에서는 아래 식이 어떻게 도출되는지 다룰 것이다.

목적은 Cauchy's equation을 Navier-Stokes equation으로 전개할 때 사용하기 위해서이다.  

 

$$\rho \frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho\left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\left(\vec{V}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{V}\right]$$

 

시공간에 한 입자가 있을 때 그 입자가 가진 속도에 대해 생각해 보자.

입자는 시간 \(t\) 과 공간 \((x, y, z)\) 에 있으므로 속도는 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\vec{V}(t) = \vec{V}(x(t), y(t), z(t), t)$$

 

이번에는 가속도를 생각해 보자.

$$\vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{d\vec{V}(x, y, z, t)}{dt}$$

 

그리고 지난 글에서 다룬 전미분, 편미분을 떠올려보면 아래와 같이 정리할 수 있다는 것이 자연스럽게 이해될 것이다.

$$\frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}\frac{dt}{dt} + \frac{\partial \vec{V}}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial \vec{V}}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial \vec{V}}{\partial z} \frac{dz}{dt} \cdots (1) $$

 

아래 링크는 편미분, 전미분, 완전미분에 대해 정리해 둔 글이다.

2023.08.03 - [전공공부/공학수학] - 편미분, 전미분, 완전미분

 

그리고 속도는 거리를 시간에 따라 미분한 것이므로

$$\vec{u} = \frac{dx}{dt},  \vec{v} = \frac{dy}{dt},  \vec{w} = \frac{dz}{dt}$$

 

그렇게 하면 식(1)을 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\vec{a}(x, y, z, t) = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + u\frac{\partial \vec{V}}{\partial x} + v\frac{\partial \vec{V}}{\partial y} + w\frac{\partial \vec{V}}{\partial z}$$

 

그리고 각 구성별(component) 가속도 벡터를 표현하면 아래와 같아진다.

$$a_{x} = \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}$$

$$a_{y} = \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}$$

$$a_{z} = \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}$$

 

이때 공통되는 부분이 있으므로 식을 한결 간결하게 정리할 수 있다.

벡터의 발산(divergence)을 사용하면

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{F} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})\cdot(f_{1}, f_{2}, f_{3}) = \frac{\partial}{\partial x}f_{1}+\frac{\partial}{\partial y}f_{2}+\frac{\partial}{\partial z}f_{3}$$ 

$$\vec{V}\cdot\vec{\nabla} = (u, v, w)\cdot(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) = u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z}$$

 

이처럼 구성별 가속도 벡터에서 공통된 부분만을 표현할 수 있게 된다. 발산을 사용할 경우 두 벡터 성분이 스칼라 성분으로 변하므로 일종의 상수가 된다는 점을 기억하면 아래와 같이 식을 전개할 수 있다. 주의할 점은 아래는 내적(inner product)이나 발산(divergence)이 아니라 단순 행렬 곱(multiplication or product)이라는 것이다.

$$(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V} = (u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z})(u, v, w)$$

 

$$\begin{multline*} =(u\frac{\partial}{\partial x}{\color{blue}u} + v\frac{\partial u}{\partial y}{\color{blue}u} + w\frac{\partial}{\partial z}{\color{blue}u}, \\ u\frac{\partial}{\partial x}{\color{blue}v} + v\frac{\partial u}{\partial y}{\color{blue}v} + w\frac{\partial}{\partial z}{\color{blue}v}, \\ u\frac{\partial}{\partial x}{\color{blue}w} + v\frac{\partial u}{\partial y}{\color{blue}w} + w\frac{\partial}{\partial z}{\color{blue}w}) \end{multline*}$$

 

그럼 우리가 위에서 열심히 전개했던 식을 아래와 같이 표현할 수 있게 된다.

 

$$\frac{D\vec{V}}{Dt} = \underbrace{\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}}_\text{local acceleration} + \underbrace{(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}}_\text{advective acceleration}$$

 

Material derivative :

$$\frac{D}{Dt} = \frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})$$

 

Material acceleration:

$$\vec{a}(x, y, z, t) = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}$$

 

참고자료

Fluid Mechanics 3rd edition in SI units P.139