Cauchy's equation: Newton's 2nd Law

Fluid, Pixabay

뉴턴의 제2법칙(Lex secunda)를 사용하여 코시 방정식(Cauchy's equation)을 도출하는 법이다. 보통 대수학을 잘한다면 가우스의 정리(발산정리) 또는 미소체적을 사용하여 간결하게 코시 방정식을 유도할 수 있다. 다만, 나는 대수학(algebra)을 잘하는 편이 아니므로 대수학을 사용하지 않고자 뉴턴의 제2법칙으로 유도하는 법을 선호한다.

 

지난 글에서 우리는 가속도를 세련되게 표현하는 법을 배웠다.

2023.09.18 - [전공공부/유체역학] - 물질 도함수(material derivative)

 

$$\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}$$

 

이번에는 이를 우리에게 매우 익숙한 뉴턴의 제2법칙에 적용해보도록 하자.

$$\sum{\vec{F}} = m\vec{a} = m\frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho(dx\, dy\, dz)\frac{D\vec{V}}{Dt}$$

 

그 다음 미소 검사체적을 도입하여 유체요소에 작용하는 전체 힘을 표현해보자.

이에 대해서도 지난 글에서 다룬 바 있다.

 

이때 표면에 인가되는 \(x\) 방향의 전단응력은 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\sum{F_{x, surface}} \cong \left(\frac{\partial}{\partial x}\sigma_{xx}+\frac{\partial}{\partial y}\sigma_{yx}+\frac{\partial}{\partial z}\sigma_{zx}\right)dx\, dy\, dz$$

 

그리고 검사표면에 \(x\) 방향으로 작용하는 체적력은 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\sum{F_{x, body}} = \sum{F_{gravity}} \cong \rho g_{x} dx\, dy\, dz$$

 

따라서 정리하자면

$$\sum{\vec{F}} = m\vec{a} = \rho (dx\, dy\, dz) \frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho g_{x} (dx\, dy\, dz) + \left(\frac{\partial}{\partial x}\sigma_{xx} + \frac{\partial}{\partial y}\sigma_{yx}+\frac{\partial}{\partial z}\sigma_{zx}\right)(dx\, dy\, dz)$$

 

이때 위 식은 \(x\) 방향만을 고려했으나 모든 방향을 아우를 수 있도록 표현하면 아래처럼 된다.

$$\rho\frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho\vec{g} + \vec{\nabla}\cdot\sigma_{ij}$$

 

물질 도함수를 풀어주면 이런 식으로도 표현할 수 있다.

$$\rho\frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho\left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}\right] = \rho\vec{g} + \vec{\nabla}\cdot\sigma_{ij}$$

 

이제 우리는 이 식을 변형하는 과정을 통해 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)을 도출해낼 수 있다.

 

참고자료

Fluid Mechanics 3rd edition in SI units P.463