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미소체적을 통한 표면력 표현하기 본문

전공공부/유체역학

미소체적을 통한 표면력 표현하기

빛나는 전구 2023. 9. 19. 11:00

수학을 잘한다면 운동량 보존 법칙을 유도하는 가장 간단한 방법 또는 가장 세련된 방법은 '레이놀즈 수송 정리(Reynolds Transport Theorem, RTT)'와 '발산 정리(divergence theorem)'를 사용하는 것이다.

 

그러나 나는 수학을 잘 못하는 편이라서 미소 검사체적을 사용하는 방식이 제일 편하고 이해가 잘 된다. 그래서 미소 검사체적을 사용해 표면력을 수학적으로 표현하고자 한다. 그러나 이 또한 '테일러 급수 전개(Taylor series expansion)' 정도의 수학 지식은 필요하다. 그러나 여기서는 물리적으로 수학을 하나의 도구로 다루는 것이기에 엄밀한 수학적 논리는 잠시 내려놓고 간단하게 테일러 전개를 표현해보았다.

 

테일러 급수 전개

u(x+dx,y)u(x,y)(x+dx)x=ux

 

u(x+dx,y)u(x,y)dx=ux

 

u(x+dx,y)=u(x,y)+uxdx

 

이게 바로 우리에게 필요한 정도의 테일러 급수 전개이다. 원래는 이보다 훨씬 복잡한데 그건 아래 링크를 통해 확인할 수 있다.

링크:

 

그럼, 테일러 급수 전개를 이해했다면 이를 활용해 x 방향의 순수 표면력을 표현해보도록 하자.

σxx(x+dx2,y)σxx(x,y)(x+dx2)x=σxxx

 

σxx(x+dx2,y)σxx(x,y)dx2=σxxx

 

σxx(x+dx2,y)=σxx(x,y)+σxxxdx2

 

그리고 우리는 전단응력이 아니라 힘을 구하는 것이므로

σxx=FAF=σxxA

Fxx=(σxx+σxxxdx2)dydz

 

이는 육면체의 6개의 면 중에서 하나의 면에 작용하는 전단응력을 표현한 것이다. 따라서 총 6개의 식이 나와야하며 이들을 모두 더하면 미소 검사체적에 가해지는 표면력을 표현할 수 있게 된다. 예를 들어 방금 전에는 미소 검사체적의 오른쪽 면에 대해 알아보았다면, 이번에는 반대편을 보도록 하자. 반대편은 아래와 같다.

 

Fxx=(σxxσxxxdx2)dydz

 

그렇다면 서로 마주보는 면을 서로 더해주면 식은 한결 간결해짐을 알 수 있다.

(σxx+σxxxdx2)(dydz)(σxxσxxxdx2)(dydz)

=xdx2(dydz)+xdx2(dydz)

=xσxx(dxdydz)

 

따라서 남은 4면에 대해 세세하게 계산해보지 않아도 나머지 면에 가해지는 표면력을 합한 총 표면력은 아래와 같음을 추론할 수 있다.

Fx(xσxx+yσyy+zσzx)dxdydz

 

참고자료

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