Divergence theorem

결과적으로 물리 현상을 설명하는 것이 우리의 목적이므로 물리적인 방향에서 발산 정리를 이해해보자.

 

우선 플럭스(flux) 개념에 따라 단위면적 당 수직으로 나가는 성분만을 모아준다.

$$\int_{S}{\vec{u}dA} = \int_{S}{\vec{u}\cdot\vec{n}dA}$$

 

그리고 플럭스 개념을 미소검사체적(infinitesimal volume)에 적용한다.

$$\vec{u}_{\rm{in}}\,dA = \vec{u}_{\rm{out}}\,dA$$

 

$$\vec{u}_{\rm{in}}\,(dy\,dz) = \vec{u}_{\rm{out}}\,(dy\,dz)$$

 

위 식에서 알 수 있듯이 문제를 간단하게 하고자 정육면체 중에서 두 개의 마주보는 면만 다루었다.

그리고 위 식에 테일러 전개를 적용해주면 아래와 같이 조금 더 복잡하게 식을 쓸 수 있다.

 

$$\left[u\left(x+dx,\, y+\dfrac{dy}{2},\,z+\dfrac{dz}{2}\right) - u\left(x,\, y+\dfrac{dy}{2}\, z+\dfrac{dz}{2}\right)\right]\Delta y\,\Delta z$$

 

그 다음 \(dx\)로 나눠주고, 다시 곱해준다.

$$= \left[\dfrac{u\left(x+dx,\, y+\dfrac{dy}{2},\,z+\dfrac{dz}{2}\right) - u\left(x,\, y+\dfrac{dy}{2}\, z+\dfrac{dz}{2}\right)}{(x+dx)-x}\times dx\right]dy\,dz$$

 

조금 보기 불편하다면 \(y\)와 \(z\)는 동일하게 가져가므로 아래와 같이 생각하면 일반적인 미분꼴임을 알 수 있다.

$$\left[\dfrac{u(x+dx)-u(x)}{(x+dx)-x}\times dx\right]dy\,dz$$

 

이때 \(\,u\,\)는 \(x,\, y,\, z\) 등 다양한 변수를 포함하고 있으므로 편미분으로 표기해준다.

$$\dfrac{\partial u}{\partial x}dx\,dy\,dz\, \cdots (1)$$

 

앞에서 '두 개의 마주보는 면'만 다루었으므로 남은 2쌍의 면에 대해서도 동일한 작업을 해주면

$$\dfrac{\partial v}{\partial y}dy\,dx\,dz\, \cdots (2)$$

$$\dfrac{\partial w}{\partial z}dz\, dx\, dy\, \cdots (3)$$

 

나오고 들어오는 것이므로 \((1), (2), (3)\) 식을 모두 더해주면 된다.

$$\begin{aligned} & = \dfrac{\partial u}{\partial x}dx\,dy\,dz + \dfrac{\partial v}{\partial y}dy\,dx\,dz + \dfrac{\partial w}{\partial z} dz\, dx\, dy \\ \\ & = \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial w}{\partial z}\right)dx\,dy\,dz \\ \\ & = \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\, \dfrac{\partial}{\partial y},\, \dfrac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(u,\, v,\, w) dV \\ \\ & = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} dV\end{aligned}$$

 

우리는 정육면체를 다루었지만, 만약 물풍선처럼 무수히 많은 면으로 나눠질 수 있는 검사체적이라면 아래와 같다.

$$\int_{A}{\vec{V}\cdot\vec{n}dA} = \int_{V}{\vec{\nabla}\cdot\vec{V}dV}$$

 

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참고자료

네이버 블로그 존이 [텐서해석] 10. 벡터장의 적분-발산 정리

https://blog.naver.com/PostView.naver?blogId=mykepzzang&logNo=221365819436&parentCategoryNo=&categoryNo=52&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView

[텐서해석] 10. 벡터장의 적분-발산 정리, Divergence Theorem