미소체적을 통한 표면력 표현하기

수학을 잘한다면 운동량 보존 법칙을 유도하는 가장 간단한 방법 또는 가장 세련된 방법은 '레이놀즈 수송 정리(Reynolds Transport Theorem, RTT)'와 '발산 정리(divergence theorem)'를 사용하는 것이다.

 

그러나 나는 수학을 잘 못하는 편이라서 미소 검사체적을 사용하는 방식이 제일 편하고 이해가 잘 된다. 그래서 미소 검사체적을 사용해 표면력을 수학적으로 표현하고자 한다. 그러나 이 또한 '테일러 급수 전개(Taylor series expansion)' 정도의 수학 지식은 필요하다. 그러나 여기서는 물리적으로 수학을 하나의 도구로 다루는 것이기에 엄밀한 수학적 논리는 잠시 내려놓고 간단하게 테일러 전개를 표현해보았다.

 

테일러 급수 전개

$$\frac{u(x+dx,\, y)-u(x,\, y)}{(x+dx)-x} = \frac{\partial u}{\partial x}$$

 

$$\frac{u(x+dx,\, y) - u(x,\, y)}{dx} = \frac{\partial u}{\partial x}$$

 

$$u(x+dx,\, y) = u(x,\, y) + \frac{\partial u}{\partial x}dx$$

 

이게 바로 우리에게 필요한 정도의 테일러 급수 전개이다. 원래는 이보다 훨씬 복잡한데 그건 아래 링크를 통해 확인할 수 있다.

링크:

 

그럼, 테일러 급수 전개를 이해했다면 이를 활용해 \(x\) 방향의 순수 표면력을 표현해보도록 하자.

$$\frac{\sigma_{xx}(x+\frac{dx}{2},\, y)-\sigma_{xx}(x,\, y)}{(x+\frac{dx}{2})-x} = \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}$$

 

$$\frac{\sigma_{xx}(x+\frac{dx}{2},\, y) - \sigma_{xx}(x,\, y)}{\frac{dx}{2}} = \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}$$

 

$$\sigma_{xx}(x+\frac{dx}{2},\, y) = \sigma_{xx}(x,\, y) + \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}$$

 

그리고 우리는 전단응력이 아니라 힘을 구하는 것이므로

$$\sigma_{xx} = \frac{\vec{F}}{A} \Rightarrow \vec{F} = \sigma_{xx}A$$

$$\vec{F}_{xx} = \left(\sigma_{xx}+\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}\right)dy\, dz$$

 

이는 육면체의 6개의 면 중에서 하나의 면에 작용하는 전단응력을 표현한 것이다. 따라서 총 6개의 식이 나와야하며 이들을 모두 더하면 미소 검사체적에 가해지는 표면력을 표현할 수 있게 된다. 예를 들어 방금 전에는 미소 검사체적의 오른쪽 면에 대해 알아보았다면, 이번에는 반대편을 보도록 하자. 반대편은 아래와 같다.

 

$$\vec{F}_{xx} = \left(\sigma_{xx}-\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}\right)dy\, dz$$

 

그렇다면 서로 마주보는 면을 서로 더해주면 식은 한결 간결해짐을 알 수 있다.

$$\left(\sigma_{xx}+\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}\right)(dy\, dz)-\left(\sigma_{xx}-\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}\right)(dy\, dz)$$

$$ = \frac{\partial}{\partial x}\frac{dx}{2}(dy\, dz) + \frac{\partial}{\partial x}\frac{dx}{2}(dy\, dz) $$

$$ = \frac{\partial}{\partial x}\sigma_{xx}(dx\, dy\, dz)$$

 

따라서 남은 4면에 대해 세세하게 계산해보지 않아도 나머지 면에 가해지는 표면력을 합한 총 표면력은 아래와 같음을 추론할 수 있다.

$$\sum{F_{x}} \cong \left(\frac{\partial}{\partial x}\sigma_{xx} + \frac{\partial}{\partial y}\sigma_{yy} + \frac{\partial}{\partial z}\sigma_{zx}\right)dx\, dy\, dz$$

 

참고자료