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결과적으로 물리 현상을 설명하는 것이 우리의 목적이므로 물리적인 방향에서 발산 정리를 이해해보자. 우선 플럭스(flux) 개념에 따라 단위면적 당 수직으로 나가는 성분만을 모아준다. $$\int_{S}{\vec{u}dA} = \int_{S}{\vec{u}\cdot\vec{n}dA}$$ 그리고 플럭스 개념을 미소검사체적(infinitesimal volume)에 적용한다. $$\vec{u}_{\rm{in}}\,dA = \vec{u}_{\rm{out}}\,dA$$ $$\vec{u}_{\rm{in}}\,(dy\,dz) = \vec{u}_{\rm{out}}\,(dy\,dz)$$ 위 식에서 알 수 있듯이 문제를 간단하게 하고자 정육면체 중에서 두 개의 마주보는 면만 다루었다. 그리고 위 식에 테일러 전개를 적용해주..

Start from linear momentum equation with Reynolds Transport Theorem (p.252) $$\int_{\rm{CV}}{\rho \vec{g} dV} + \int_{\rm{CS}}{\sigma_{ij}\cdot\vec{n}dA} = \int_{\rm{CV}}{\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)dV} + \int_{\rm{CS}}{\rho \vec{v} \vec{v} \cdot \vec{n} dA}\,\cdots (1)$$ For who want to know how to derive equation \((1)\) Link: Extended Divergence Theorem: $$\int_{\rm{CS..

뉴턴의 제2법칙(Lex secunda)를 사용하여 코시 방정식(Cauchy's equation)을 도출하는 법이다. 보통 대수학을 잘한다면 가우스의 정리(발산정리) 또는 미소체적을 사용하여 간결하게 코시 방정식을 유도할 수 있다. 다만, 나는 대수학(algebra)을 잘하는 편이 아니므로 대수학을 사용하지 않고자 뉴턴의 제2법칙으로 유도하는 법을 선호한다. 지난 글에서 우리는 가속도를 세련되게 표현하는 법을 배웠다. 2023.09.18 - [전공공부/유체역학] - 물질 도함수(material derivative) $$\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\v..

도함수 이해하기 이번 글에서는 아래 식이 어떻게 도출되는지 다룰 것이다. 목적은 Cauchy's equation을 Navier-Stokes equation으로 전개할 때 사용하기 위해서이다. $$\rho \frac{D\vec{V}}{Dt} = \rho\left[\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\left(\vec{V}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{V}\right]$$ 시공간에 한 입자가 있을 때 그 입자가 가진 속도에 대해 생각해 보자. 입자는 시간 \(t\) 과 공간 \((x, y, z)\) 에 있으므로 속도는 아래와 같이 표현할 수 있다. $$\vec{V}(t) = \vec{V}(x(t), y(t), z(t), t)$$ 이번에는 가속도를 생각해 보자..