베르누이 방정식 유도

Fluid Mechanics Fundamentals and applications 3rd edition.

Chpater.5 Bernoulli and Energy equations

p.200 Derivation of the Bernoulli equation

 

$$\sum{F_{s}} = m\vec{a}_{s}$$

 

$$P\,dA-(P+dP)dA-W\sin\theta = m\vec{a}_{s}$$

 

2023.08.03 - [전공공부/공학수학] - 편미분, 전미분, 완전미분

편미분, 전미분, 완전미분

 

전에 다뤘던 전미분(total differential)에 대한 개념을 가져와 가속도를 속도에 대한 식으로 바꾸도록 한다.

 

$$\vec{V}(s,t)=\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial s}ds+\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t}{dt}$$

 

$$\dfrac{d\vec{V}}{dt}=\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial s}\dfrac{s}{dt}+\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t}\dfrac{dt}{dt}$$

 

이때 steady flow일 경우

$$\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0$$ 

이므로 결과적으로 가속도는 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

$$\vec{a}_{s}=\dfrac{d\vec{V}}{dt}=\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial s}\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{\partial \vec{V}}{\partial s}\vec{V}=\vec{V}\dfrac{d\vec{V}}{ds}$$

 

$$P\,dA-(P+dP)dA-W\sin\theta = m\vec{V}\dfrac{d\vec{V}}{ds}$$

 

그리고 \(m=\rho V = \rho\,dA\,ds\) 이고 \(W=m\vec{g}\)이므로

 

$$-dP\,dA-\rho \vec{g} \,dA\,ds\sin\theta = \rho \,dA\,ds\,\vec{V}\dfrac{d\vec{V}}{ds}$$ 

 

그리고 길이 \(ds~\)에 대해 밑변이 \(dx\), 높이가 \(dy~\)인 삼각형으로부터

$$\sin\theta = \dfrac{dz}{ds}$$

 

$$-dP\,dA-\rho\vec{g}\,dA\,ds\dfrac{dz}{ds}=\rho\,dA\,ds\vec{V}\dfrac{d\vec{V}}{ds}$$

 

$$-dP-\rho\vec{g}dz=\rho\vec{V}d\vec{V}$$

 

$$\dfrac{dP}{\rho}+\vec{g}dz+\vec{V}d\vec{V}=0$$

 

그리고 간단한 적분을 해주면

 

$$\int{\vec{V}d\vec{V}} = \dfrac{1}{2}\vec{V}^{2} ~~~~~~~~~~~~ \int{\vec{g}dz}=\vec{g}z$$

 

$$\int{\dfrac{dP}{\rho}}+\dfrac{\vec{V}^{2}}{2}+\vec{g}z=0$$

 

위 식은 steady flow 일 때이며, 만약 비압축성 유체를 다룬다면 식은 더욱 간단해진다.

 

$$\dfrac{P}{\rho}+\dfrac{1}{2}\vec{V}^{2}+gz=constant$$

 

그리고 여기에서부터 유체기계에 대한 내용들을 다루고자 한다.