삼각함수의 극한

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아래 방법은 네이버에 검색하여 가장 먼저 보였던 증명 방식이다. 그림이 있으면 한결 이해가 편한데 나중에 시간이 되면 첨부할 계획이다. 나는 개인적으로 아래 방법보다 그 다음에 나오는 방식을 더 선호한다.

 

삼각함수의 극한은 동역학에서 각운동을 해석할 때 사용되며 원운동이 존재하는 동역학을 공부할 때 여러모로 도움이 되는 익혀두면 좋다.

 

\(x > 0\)일 때,

 

$$\sin x < x < \tan x$$

 

$$\frac{\sin x}{\sin x} < \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x}$$

 

$$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}$$

 

$$1 = \lim \limits_{x \rightarrow \,0}{1} < \lim \limits_{x \rightarrow \,0}{\dfrac{x}{\sin x}} < \lim \limits_{x \rightarrow \, 0}{\dfrac{1}{\cos x} = 1}$$

 

$$1 < \lim \limits_{x \rightarrow \,0}{\dfrac{x}{\sin x}} < 1$$

 

따라서

 

$$ \lim \limits_{x \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin x}{x}} = 1$$

 

이렇게 마지막에 역수를 하는 방법들이 네이버에서 검색되었지만, 극한을 보낸 뒤 역수를 취하는 것이 어색해 다른 방법도 정리해두었다.

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$$\frac{1}{2}(1)\tan \theta > \frac{1}{2}(1)^{2}\theta > \frac{1}{2}(\cos\theta)(\sin\theta)$$

 

양변을 적절하게 정리해주면 아래와 같아진다.

$$\tan\theta > \theta > \sin\theta\cos\theta$$

 

$$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} > \theta > \sin\theta \cos\theta$$

 

양변에 \(\sin\theta\)로 나눠준다.

 

$$\frac{1}{\sin\theta}\times\frac{\sin\theta}{\cos\theta} > \frac{\theta}{\sin\theta} > \frac{\sin\theta \cos\theta}{\sin \theta}$$

 

$$\cos\theta < \frac{\sin\theta}{\theta} < \frac{1}{\cos\theta}$$

 

양변에 \(\theta\)를 \(0\)으로 보내면

 

$$\lim \limits_{\theta \rightarrow \,0}{\cos\theta} = 1 < \lim \limits_{\theta \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin\theta}{\theta}} < \lim \limits_{\theta \rightarrow \,0}{\dfrac{1}{\cos\theta}} = 1$$

 

$$1 < \lim \limits_{\theta \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin\theta}{\theta}} < 1$$

 

조임 정리에 따라 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

$$\lim \limits_{\theta \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin\theta}{\theta}} = 1$$