삼각함수의 미분: cosine

Pixabay

$f(x) = \cos x$

 

$\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}} & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos(x+h) - \cos x}{h}}\\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\left\{ \dfrac{\cos x \cos h - \cos x}{h} - \dfrac{\sin x \sin h}{h}\right\}} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos x (\cos h -1)}{h}} - \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\left(\dfrac{\sin h}{h}\sin x\right)} \end{aligned}$

 

삼각함수의 극한 성질에 의해

$$\lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin h}{h}} = 1$$

이므로

 

$$\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos x(\cos h -1)}{h} - \sin x} \end{aligned}$$

 

그리고 첫 번째 항의 분자와 분모에 \(\cos h + 1\)을 곱해주면

 

$$\begin{aligned} & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos x(\cos h -1)(\cos h +1)}{h(\cos h+1)} - \sin x} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\cos x (\cos^{2}h -1)}{h(\cos h+1)} - \sin x}\end{aligned}$$

 

\(\sin^{2}h + \cos^{2}h = 1\)이므로

 

$$\begin{aligned} & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{-\cos x(\sin^{2}h)}{h(\cos h + 1)}-\sin x} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\left(\dfrac{\sin h}{h}\right)} \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\left(\dfrac{-\cos x \sin h}{\cos h+1}\right)} - \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\sin x} \\ \\ & = 0 - \sin x \\ \\ & = -\sin x\end{aligned}$$

 

위 식에서 두 번째 항은 분모의 \(\cos\) 는 1로 향하지만 분자의 \(\sin h\)가 0으로 향하므로 0이 되는 것이다. 

---

참고자료

https://blog.naver.com/kuuungu4/223018621310

삼각함수 미분 (사인 미분, 코사인 미분, 탄젠트 미분) 도함수를 미분계수 공식으로 증명