마력과 토크(torque) 3편

자동차 엔진이 내는 출력(power)은 어떻게 마력으로 변환하는 것일까? 75 kg 짜리 물건을 매달아두고 몇초만에 끌어올리는지 측정하는 것은 아니다. 이때 토크(torque) 개념을 도입한다. 자동차의 출력은 토크를 사용해 측정하는 것이다.

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#1 토크(torque)의 정의

토크는 팔 길이와 힘의 곱으로 이뤄져있다. 이때 토크는 외적으로 연산된다는 점을 유의해야 하지만 이곳에서는 단순히 그 크기에 집중하기로 한다.

 

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

 

#2 일(work)과 일률(power)의 관계

일은 힘(N)과 거리(m)의 곱으로 구해지며 일률은 일을 시간 단위로 나눠 단위시간당 해준 일로 정의한다. 따라서 힘이 일정하다면 일률과 일은 다음과 같은 관계를 가진다.

 

$$\frac{\delta W}{dt} = \frac{d}{dt} (F s) = s\frac{dF}{dt}+F\frac{ds}{dt} = F\vec{v}$$

 

#3 각속도(angular velocity)의 정의

지금까지는 수직운동에 대해 다뤘다면 이제는 회전운동을 다뤄야 한다. 이를 위해서는 병진운동의 속도에 대응하는 각속도를 정의해야 한다. 아래 식에서 \(N\)은 분당회전수(rpm)이다. 힘의 단위 뉴턴(N)과 헷갈리지 않길 바란다.

 

$$\vec{v} = r \omega = \frac{2\pi r N}{60} ~[\rm{m/s}]$$

$$\frac{2\pi r N}{60} ~\left[\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right]\cdot\left[\frac{60 ~\rm{s}}{1 ~\rm{min}}\right]= 2\pi r N\left[\frac{\rm{m}}{\rm{min}}\right]$$

 

여기서 \(\vec{v}*\)를 분속도(meter per minute)이라 가정하자.

\(\omega*\) 역시 (radian per minute)이라 가정하자.

 

$$\vec{v}*=r\omega* =2\pi r N \left[\frac{\rm{m}}{\rm{min}}\right]$$

$$\omega* = 2\pi N \left[\frac{1}{\rm{\rm{min}}}\right]$$

 

#4 회전운동에서의 일률의 정의

조금 거칠게 표현하자면 단위에 집중하면 한결 이해가 편하다. 앞서 일률은 힘과 속도의 곱으로 표현할 수 있었다. 한 번 더 나누면 힘과 길이 단위 그리고 시간의 역수로 나눌 수 있다. 우리로 한다면 시간의 단위는 분(minute)으로도 두어도 된다.

 

$$\frac{\rm{J}}{\rm{s}} = \frac{\rm{N}\cdot\rm{m}}{\rm{s}} = \rm{N}\times\rm{m}\times\frac{1}{\rm{s}}$$

 

그럼 힘과 길이 단위의 곱은 '토크'가 되고 시간의 역수는 각속도의 단위라는 점에서 착안해 토크와 각속도의 곱은 곧 일률이 된다는 것을 알 수 있다. (보다 물리적으로 명확한 유도는 고체역학이나 동역학을 연재할 때 다루고자 한다.) 따라서 회전운동에서 일률은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$P=\tau \omega* = \tau\cdot (2\pi N)$$

 

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그리고 우리가 앞에서 배운 1HP = 33,000 lbf·ft/min을 도입한다. 그럼 아래와 같이 식을 정리할 수 있다. 아, 물론 여기서 토크의 힘, 길이 단위 등은 모두 야드파운드 단위였다고 가정한다. 따라서 불필요한 단위 환산은 다루지 않고자 한다.

 

$$1 ~\rm{HP} = 33,000 \rm{lbf}\cdot\rm{ft}/\rm{min} = \tau \cdot (2\pi N)$$

$$1 ~\rm{lbf}\cdot\rm{ft}/\rm{min} = \frac{\tau \cdot (2\pi N)}{33,000} ~\rm{lbf}\cdot\rm{ft}/\rm{min}$$

$$1 ~\rm{lbf}\cdot\rm{ft}/\rm{min} = \frac{\tau (2 \pi) \cdot N \times \frac{1}{2 \pi}}{33,000 \times \frac{1}{2 \pi}} = \frac{\tau \cdot N}{5252.113} ~\rm{lbf}\cdot\rm{ft}/\rm{min}$$

 

식을 전개했다면 이제 내가 뭘 했는지 쉬운 개념과 대응시켜 항상 생각해보아야 한다. 우리가 방금 33,000으로 나눈 이유는 마치 '연필 12자루를 1다스라고 정의했을 때 36자루는 몇 다스인가'라는 문제와 같다. 우리는 무의식적으로 36을 12로 나눈다. 토크와 분당회전수의 곱을 33,000으로 나눈 이유도 간단하다. 1다스는 곧 1마력에 대응하고 12자루는 33,000 lbf·ft/s에, 그리고 26자루는 토크와 분당회전수의 곱에 해당한다. 따라서 우리가 구한 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$1 ~\rm{HP} = \frac{\tau \cdot N}{5252} ~\rm{lbf}\cdot\rm{ft}/\rm{min}$$