마력(horsepower) 1편

 

배경

영국의 제임스 와트는 자신이 만든 증기기관 Whitbread engine을 판매하기 위해 말이 얼마만큼의 힘을 낼 수 있는지 계산해 보았다. 당시 석탄 광산에서는 석탄을 나를 때, 맥주 공장에서는 맥아를 만들기 위해 방앗간을 돌리는데 말을 사용하고 있었다. 그런 사람들에게 '증기기관은 말 10마리만큼의 일을 할 수 있다'는 표현은 매우 직관적이었다.

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유도 #1

와트가 어떻게 마력을 계산했는지는 크게 두 가지 설이 있는 것으로 보인다. 첫 번째는 당시 광산에서 석탄을 올리는 데 사용되었던 조랑말(pony)를 기준으로 했다는 이야기이다. 와트는 조랑말이 22,000 foot pounds per minute, lbs·ft/min 정도의 일률(power)을 가진다고 보았다. 그리고 조랑말(pony)보다 큰 그냥 '말(horse)'은 50% 더 큰 힘을 낼 수 있다고 보았다. 따라서 말은 33,000 lbs·ft/min 만큼의 일률을 가진다고 가정했다. 그럼 말이 초당 할 수 있는 일은 550lbs·ft/s 가 된다. 그래서 1마력은 550 파운드의 물체를 초당 1피트 올릴 때 필요한 일률이라고 정의할 수 있다.

출처: LinkedIn, The truth behind a pony tail power by Sachin Bhise (2017)

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유도 #2

두 번째 가설은 와트가 맥주 공장에서 맥아 가루를 만들 때 사용하는 방앗간을 관찰하여 계산했다는 이야기이다. 제임스 와트는 말이 직경 24 피트의 물레방아를 1시간당 144 바퀴 돌린다는 것을 관찰했다. 그럼 물레방아를 한 바퀴 돌린다는 것은 곧 원의 한둘레 길이로 해석할 수 있다. 그리고 1시간당 144 바퀴 돌았으므로 1시간 동안 말이 이동한 거리는 10857.34 ft라는 것을 알 수 있다. 그리고 와트는 말 한 마리가 180 lbf의 힘을 낼 수 있다고 보았으므로 앞에서 구한 말이 이동한 거리에 곱해주면 시간당 해준 일이 구해지고, 우리는 분당 해준 일에 관심을 가지므로 60으로 나눠주면 32,572 lbf·ft/min이라는 값을 얻을 수 있다. 이는 앞서 33,000 lbf·ft/min 와 매우 비슷하다.

출처: The Chronicle of The Horse, James Watt and the Revolution of Horsepower by Abby Gibbon (2011)

 

1바퀴 돌았을 때는 곧 거리이다.

$$s=2\pi r = \pi d ~~ (d = 24 ~\rm{ft})$$

 

1시간 동안 144 바퀴를 돌았다는 말은 곧 속도가 된다. (앞에서 분 단위로 계산했으므로 초 단위로 바꾸지 않았다.)

$$\vec{v} = \frac{\pi d \times N}{60} ~~ (N=144)$$

$$\vec{v} = 180.955~ \rm{ft/min}$$

 

그 다음 말 한 마리가 낼 수 있는 힘 180 lbf를 곱해주면 우리가 원하는 lbf·ft/min 단위의 값이 나온다.

$$1~\rm{HP}=F\vec{v}=180 \times 180.955 = 32572.03~ \rm{lbf·ft/min}$$

 

 

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그러니 만약 제임스 와트가 영국이 아닌 인도에서 증기기관을 연구했다면 오늘날 우리는 마력(horse-power) 대신 한 마리의 코끼리가 시간 당 하는 일이라 하여 '상력(elephant-power)'을 사용하고 있었을지도 모른다. 또, 우리나라에서 증기기관에 대한 연구가 활발히 이뤄졌다면 소가 시간 당 하는 일이라 하여 '우력(cow-power)'이라는 단위가 나왔을지도 모른다.