일(work)은 무엇인가? 1편: 퍼텐셜 공부

시지프스 @브런치

중력(gravity)은 대표적인 보존력(conservative force)이다.

 

 

그리고 우리가 잘 알다시피 위 그림과 같이 두 구(sphere) 사이에는 다음과 같은 힘이 작용한다.

 

$$\vec{F}=mg=G\frac{mM}{r^{2}}$$

 

이때 중력 상수 \(G\)는 중력 가속도와 다음과 같은 관계를 가진다.

 

$$g=G\frac{M}{r^{2}}$$

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그리고 중력장 안에서 위치 에너지 또는 퍼텐셜 에너지 \(U\)는 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

$$U=mgr$$

 

우리에게는 \(h\)를 사용한 표기가 익숙할텐데 이는 지표면을 기준으로 하기 때문이다.

 

$$U_{1} = mgr = mg(R+h)$$

$$U_{2} = mgR$$

$$\Delta U = U_{2}-U_{1} = mgR+mgh-mgR=mgh$$

 

즉, 지표면을 기준으로 하지 않는 일반적인(general) 퍼텐셜 에너지를 표기하고자 \(U=mgr\)로 기술했다.

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그리고 앞에서 정리한 중력 상수과 중력 가속도 관계를 퍼텐셜 에너지 표기에 적용한다.

 

$$U=mgr=m\times \left(G\frac{M}{r^{2}}\right) \times r = G\frac{mM}{r}$$

 

그리고 단위 질량 당 중력 퍼텐셜 에너지는 \(U\)를 \(m\)으로 나눠주면 된다.

 

$$V=\frac{U}{m}=G\frac{M}{r}$$

 

이를 우리는 '퍼텐셜(potential) \(V\) '이라고 정의한다. (주의, 퍼텐셜 에너지와 퍼텐셜은 다르다.)

 

퍼텐셜에서 우리가 눈여겨 보아야 할 점은 퍼텐셜은 오직 위치\(r\)에 대해서만 변함을 알 수 있다.

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그리고 퍼텐셜은 보존력과 다음과 같은 관계를 가진다.

 

$$\vec{F}=-\nabla \phi = -\nabla U$$

$$\frac{d}{dr}\left(G\frac{mM}{r}\right) = \frac{d}{dr}\left(GmMr^{-1}\right) = -GmMr^{-2} = -G\frac{mM}{r^{2}}$$

$$\vec{F}=-\nabla U = G\frac{mM}{r^{2}}$$

 

위 연산을 우리는 그래디언트(gradient)라고 한다. 이는 스칼라 함수를 벡터 함수로 변환해주는 연산자이다.

이 점에서 퍼텐셜은 스칼라 함수임을 알 수 있다. 즉, 특정한 방향을 가지는 것이 아니라 상태를 나타내는 것이다.

마치 전국 지방별 온도를 생각하면 이해가 쉬울 것이다.

 

Korea Meteorological Adimistration (2011)

위 사진을 보면 온도가 동일한 지점을 이어보면 하나의 온도장 또는 등고선이 만들어짐을 알 수 있다.

만약 압력 분포라면 고등학교 때 배운대로 바람은 고기압에서 저기압으로 이동하므로 바람의 방향을 알 수 있게 된다.

여기에서 우리가 퍼텐셜이라는 물리량으로부터 무엇을 얻을 수 있는지 고찰해볼 수 있다.

(이에 대해서는 다음 글에서 다루고자 한다.)

 

그리고 위에서 마이너스(-)가 붙는 이유는 퍼텐셜은 항상 그 에너지가 감소하는 형태로 작동하기 때문이다.

가만히 있는 공이 저절로 위로 올라가는 일은 없다. 일반적인 경우라면 위치 에너지가 줄어드는 방향으로 작용한다.

(또는 퍼텐셜 장에 반대되는 방향으로 일을 해주기 때문에 마이너스 부호가 붙는다고 해석하는 경우도 있다.)

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참고자료

Wikipedia, conservative force

Wikipedia, conservative vector field

네이버 물리학백과, 퍼텐셜

네이버 물리학백과, 보존력