Second-order tensor expansion
$$\vec{V}\cdot(\rho\,\vec{V}\vec{V}) = \vec{V}\,\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{V})+\rho(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}$$
위 식은 유체역학에서 코시 방정식으로부터 나비에-스토크스 방정식을 유도할 때 등장한다. 이때 코시 방정식을 유도하는 과정에서 가우스 정리(발산 정리) 또는 미소검사체적을 두고 코시 방정식을 유도할 때 등장하는 2계 텐서를 전개하는 과정에서 위 식이 다뤄진다.
아래 복잡하게 기술된 식들은 한눈에 보아서는 왜 저렇게 분해하는지 이해가 되질 않아 공부한 내용을 정리해 둔 것이다.
일단 우리가 전개하고자 하는 좌변을 살펴본다.
$$\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot \begin{pmatrix} \rho uu & \rho uv & \rho uw \\ \rho vu & \rho vv & \rho vw \\ \rho wu & \rho wv & \rho ww \end{pmatrix}$$
해당 행렬을 전개해 보면 \(1 \times 3\) 행렬과 \(3 \times 3\) 행렬을 곱하는 것이므로 \(1\times3\) 행렬이 나와야 한다.
$$\begin{align*} \left( \frac{\partial}{\partial x}(\rho uu) + \frac{\partial}{\partial y}(\rho vu) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho wu) {\color{red},}\, \frac{\partial}{\partial x} (\rho uv) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho vv) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho wv) {\color{red},}\, \frac{\partial}{\partial x}(\rho wu) + \frac{\partial}{\partial y}(\rho wv) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho ww) \right) \end{align*}$$
이 상태에서 우변의 첫 번째 항을 전개해 보면
$$\begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot (\rho \vec{V}) \\ &= \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) (\rho \vec{u},\, \rho \vec{v},\, \rho \vec{w}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\rho u) +\frac{\partial}{\partial y} (\rho v) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho w)\end{aligned}$$
결과물은 보이는 것처럼 스칼라이다. 즉, 일반 상수와 행렬을 곱해주는 것이라 생각하면 편하다.
따라서 앞에 붙은 행렬에 대해서는 단순곱을 해주면 된다.
$$(\vec{u},\, \vec{v},\, \vec{w}) \left(\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + \frac{\partial}{\partial y}(\rho v) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho w)\right)$$
$$=\left[ \vec{u}\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + \vec{u}\frac{\partial}{\partial y}(\rho v) + \vec{u}\frac{\partial}{\partial z}(\rho w),\, \vec{v}\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + \vec{v}\frac{\partial}{\partial y}(\rho v) + \vec{v}\frac{\partial}{\partial z}(\rho w),\, \vec{w}\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + \vec{w}\frac{\partial}{\partial y}(\rho v) + \vec{w}\frac{\partial}{\partial z}(\rho w)\right]$$
그 다음은 우변의 두 번째 항을 전개해 보면
$$\begin{aligned} \vec{V}\cdot\vec{\nabla} \\ &= (\vec{u},\, \vec{v},\, \vec{w})\cdot(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \\ &=\left( \vec{u} \frac{\partial}{\partial x} + \vec{v} \frac{\partial}{\partial y} + \vec{w} \frac{\partial}{\partial z} \right) \end{aligned}$$
이때 얻은 결과물은 스칼라이다. 그리고 남은 밀도와 속도를 계산해 주면 아래와 같아진다.
$$\left[\rho\vec{u}\frac{\partial}{\partial x}\vec{u} + \rho\vec{v}\frac{\partial}{\partial y}\vec{u} + \rho\vec{w}\frac{\partial}{\partial z}\vec{u},\, \rho\vec{u}\frac{\partial}{\partial x}\vec{v} + \rho\vec{v}\frac{\partial}{\partial y}\vec{v} + \rho\vec{w}\frac{\partial}{\partial z}\vec{v},\, \rho\vec{u}\frac{\partial}{\partial x}\vec{w} + \rho\vec{v}\frac{\partial}{\partial y}\vec{w} + \rho\vec{w}\frac{\partial}{\partial z}\vec{w}\right]$$
열심히 전개한 우변의 두 항을 서로 더해보면 단순한 미분임을 볼 수 있다. 식이 복잡하니 좌변의 첫 번째 항과 비교해도록 하자. 좌변의 첫 번째 항은 아래와 같았다.
$$\frac{\partial}{\partial x}(\rho uu) + \frac{\partial}{\partial y}(\rho vu) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho wu)$$
그리고 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항을 더해주면 아래와 같다.
$$\left[u\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + u\frac{\partial}{\partial y}(\rho v) + u\frac{\partial}{\partial z}(\rho w)\right] + \left[\rho u\frac{\partial}{\partial x}u + \rho v\frac{\partial}{\partial y}u + \rho w\frac{\partial}{\partial z}u \right]$$
이건 \(\rho uu\)를 \(\rho u\)와 \(u\)를 곱한 함수라고 본다면
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x) = f(x)\frac{dg(x)}{dx} + g(x)\frac{df(x)}{dx}$$
$$\frac{\partial}{\partial x}(\rho uu) = u\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + \rho u\frac{\partial}{\partial x}(u)$$
$$\frac{\partial}{\partial y}(\rho uv) = v\frac{\partial}{\partial y}(\rho u) + \rho u\frac{\partial}{\partial y}(v)$$
$$\frac{\partial}{\partial z}(\rho uw) = w\frac{\partial}{\partial z}(\rho u) + \rho u\frac{\partial}{\partial z}(w)$$
이렇게 생각할 수 있으므로 왜 463 페이지의 식 9-47이 아래와 같이 전개될 수 있는지 이해할 수 있다.
$$\vec{V}\cdot(\rho\,\vec{V}\vec{V}) = \vec{V}\,\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{V})+\rho(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}$$
참고자료
Fluid Mechanics 3rd edition in SI units P.463