편미분, 전미분, 완전미분
수학은 안타깝게도 서양에서 온 학문이다.
그러다보니 한국어로 바꾸면 전미분과 완전미분처럼 얼핏 비슷해 보이는 개념들이 존재한다.
그리고 편미분은 다양한 변수를 함께 고려해야 하는 공학 문제에서 밥먹듯이 등장하는 개념이라 정리해두었다.
다음과 같은 함수가 있다고 가정하자.
$$z=F(x,y)=f(x)+g(y)+h(x)k(y)$$
\(x\) 에 대한 편미분(partial differentiation)
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}+\frac{\partial g(y)}{\partial x}+\frac{\partial h(x)k(y)}{\partial x}$$
$$=\frac{\partial f(x)}{\partial x}+0+k(y)\frac{\partial h(x)}{\partial x}$$
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}+k(y)\frac{\partial h(x)}{\partial x}$$
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{df(x)}{dx}+k(y)\frac{dh(x)}{dx}$$
\(y\) 에 대한 편미분(partial differentiation)
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial f(x)}{\partial y}+\frac{\partial g(y)}{\partial y}+\frac{\partial h(x)k(y)}{\partial y}$$
$$=0+\frac{\partial g(y)}{\partial y}+h(x)\frac{\partial k(y)}{\partial y}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial g(y)}{\partial y}+h(x)\frac{\partial k(y)}{\partial y}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dg(y)}{dy}+h(x)\frac{dk(y)}{dy}$$
전미분(total differential)
만약 \(t=t(x,y)\) 라고 가정하면
$$\frac{dz}{dt}=\frac{dF(x,y)}{dt}=\frac{df(x)}{dt}+\frac{dg(y)}{dt}+\frac{dh(x)}{dt}k(y)+h(x)\frac{dk(y)}{dt}$$
$$=\frac{df(x)}{dx}\frac{dx}{dt}+\frac{dg(y)}{dy}\frac{dy}{dt}+\frac{dh(x)}{dx}\frac{dx}{dt}k(y)+h(x)\frac{dk(y)}{dy}\frac{dy}{dt}$$
$$=\left[\frac{df(x)}{dx}+\frac{dh(x)}{dx}k(y)\right]\frac{dx}{dt}+\left[\frac{dg(y)}{dy}+h(x)\frac{dk(y)}{dy}\right]\frac{dy}{dt}$$
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
완전미분(exact differential)
완전미분은 여기서 한걸음 더 나아간다.
만약 \(dz=0\) 일 경우 우리는 이를 '완전미분 방정식(exact differential equation)'이라고 한다.
$$dz = 0 = \frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
그리고 이들은 이러한 관계를 가진다.
$$\frac{\partial z}{\partial x}=M \cdots (a)$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}=N \cdots (b)$$
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$$
$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$$
그 결과 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
이러한 관계식은 미분 방정식을 풀 때 사용되며, 열역학에서 Maxwell 관계식을 유도할 때 유용하게 다뤄진다.
참고자료
네이버 블로그 KonpaU, 13장 편미분, 전미분(음함수의 미분 확장개념)
Advanced Engineering Mathematics by Erwin Kreyszig 10th edition p.21