경계층 실험 해석
경계층 실험은 정압(static pressure)도 측정할 수 있는 피토-정압관이 아닌 피토관을 사용하므로 전압(total pressure)만 측정할 수 있다. 그러나 아래 식을 보면 정압도 알아야 속도값을 구할 수 있음을 알 수 있다. (아무래도 교재는 피토관에서는 전압만 측정하므로 정압을 날린 것 같다.)
$$P=p+\frac{1}{2}\rho \vec{v}^{2}$$
#1 점착 조건은 사용할 수 없습니다.
전압(total pressure)는 우리가 액주계를 통해 기록하였으므로 실험을 통해 얻는 값이다. 문제는 정압(static pressure)이다. 우선, 경계층 실험에서는 얻을 수 없는 값이라는 것을 잘 알고 있을 것이다. 그렇다고 해서 점착조건(no-slip condition)을 적용해 y=0 에서 속도가 0이라고 가정하는 것도 불가능하다. 이유는 아래와 같다.
교재를 보면 'Thickness of pitot tube at tip: 2t = 0.4 mm'라고 안내되어 있다. 이는 피토정압관 구멍의 두께가 0.4 mm 라는 것이며 이는 벽면에 아무리 피토관을 붙이더라도 피토관 구멍의 중앙은 벽면으로부터 0.2 mm 만큼 떨어져 있음을 말해준다. 동일한 맥락으로 정말 정확한 값을 표기하길 원한다면 0, 1, 2 mm 각각의 수치에 대해서도 0.2 mm를 더하는 것이 바람직하다. 물론, 이렇게 해도 평행이동한 것이므로 그래프의 경향은 변하지 않는다.
#2 정압으로 제시된 640 N/m^2은 잘못되었습니다.
그래서 필요한 값이 교재 마지막 페이지에 안내된 '공기저장조 압력 : 640 N/m^2'이다. 그런데 문제는 이 값을 넣을 경우 값이 이상해질 뿐더러 어떻게 구해졌는지도 불분명한 값이라는 것이다. 그리고 계산해보면 상식적으로 640 N/m^2이 나올 수 없다는 것을 테이블1을 작성하며 수행한 베르누이 실험에서 알 수 있다. (저도 시험 문제 출제를 위해 모든 값들을 유도하고, 검토하기 전까지 몰랐습니다. 왜냐하면 오랫동안 족보에서도 640을 넣었으니깐요) 그럼 지금부터 경계층 해석을 위한 올바른 정압(static pressure)을 구해보도록 하자.
실험에 사용된 풍동 장치(AF10a)는 베르누이와 경계층 실험 모두 동일하다. 즉, 풍동 장치 자체가 내보내는 공기량(flow rate)는 조교가 따로 조작하지 않았으므로 동일하다고 할 수 있다. 그러므로 우리는 단면적을 유심히 살펴볼 필요가 있다. 우선 베르누이 실험을 할 때는 폭이 좁아지다가 일정해지고 다시 넓어지는 모듈을 사용했다. 이때 베르누이 실험에서 x = 4mm 일 때 공기 통로의 너비가 00 mm 이라고 교재에 안내된 값들을 통해 구할 수 있을 것이다. 이를 바탕으로 열역학에서 자주 사용하는 선형보간법을 사용한다면 너비가 90 mm 일 때 정압(static pressure)가 얼마인지 구할 수 있다. (각 수치들에 대한 정확한 값은 오늘내로 측정하여 올리도록 하겠습니다.) / (제 실험 및 계산으로는 90-100 N/m^2이 도출되었습니다.)
아니면 베르누이 실험에서 단면적이 90 mm에 해당하는 위치에서 정압을 측정한다면 그 값이 바로 '공기저장조 압력'이자 우리에게 필요한 '정압(static pressure)'이다. 두 방법 모두 타당하다. 다만, 베르누이 실험 데이터로 선형보간법을 취해 구하는 방법이 직접 실험을 할 필요가 없으며 할 수 없는 경우에 사용하기 편리하다.
#3 교재 마지막 페이지에 안내된 수식은 잘못되었습니다.
아무래도 피토정압관 공식에서 피토관이라 하여 정압을 지워 아래와 같이 식을 만든 다음 속도비로 공식을 전개한 듯 합니다. 그런데 아시겠지만 피토관은 정압을 측정할 수 없는 장치이지 정압이 0이라는 뜻은 아닙니다.
$$P=p+\frac{1}{2}\rho \vec{v}^2 ~~ \Rightarrow ~~ P=\frac{1}{2}\rho \vec{v}^{2}$$
이렇게 하면 속도비에 대한 식을 도출할 때 교재에 나온대로 공식이 나옵니다.
$$\vec{v}=\vec{u}=\sqrt{\frac{2P}{\rho}}$$
$$\frac{u}{U}=\sqrt{\frac{P}{P_{0}}}$$
문제는 유도 과정에서 보이듯 여기서 계속 가져온 값은 전압(total pressure)라는 겁니다. 여러모로 이상한 공식임은 틀림없다고 생각됩니다. 따라서 경계층에 대한 속도는 다음과 같이 유도해야 합니다. 아래 식에 액주계를 통해 읽은 전압(P)값과 앞서 선형보간법을 사용해 구한 정압(p)값 그리고 공기 밀도를 넣어 속도를 구하시면 됩니다.
$$P=p+\frac{1}{2}\rho \vec{v}^{2}$$
정리하자면
1. 경계층 유동 테이블2, 3에서 구한 압력값은 전압이다.
2. 해당 전압은 앞서 베르누이에서 구한 것과 동일하게 길이값을 압력으로 환산하면 된다.
3. 점착 조건은 이용할 수 없으므로 정압을 사용해야 한다.
4. 교재에 나온 정압 640 N/m^2은 잘못된 값으로 보인다.
5. 따라서 베르누이 실험에서 선형보간법으로 대략 90 mm 일 때의 정압을 도출한다.
6. 해당 값을 피토 정압관 공식에 넣어 속도를 구한다.
이상입니다. 감사합니다.