Line integral: 곡선(curve)

고등학생 때 배운 정적분은 \(f(x)\)라는 함수를 \(x=a\)부터 \(x=b\)까지 적분한 것이다. 그래서 적분한 결과는 함수 \(f(x)\) 아래의 면적을 의미한다.

 

그러나 역학을 공부하다보면 피적분함수가 하나 이상의 변수를 포함하는 다변수 함수 또는 벡터함수로 주어지는 경우가 등장한다. 그리고 이 과정에서 선적분(line integral)을 다루게 된다. 그리고 이를 이해하기 위해서는 선적분을 다룰 때 등장하는 각 요소를 명확하게 이해하는 것이 선행되어야 한다.

 

#1 벡터함수(vector function)와 공간곡선(space curve)

벡터함수는 방향을 가진 함수라 생각되어 교재에 주어진 공간곡선 \(C\) 를 벡터함수라 착각하는 경우가 있다. 그러나 벡터 함수는 원점을 기준으로 방향을 가진 한 직선이라 생각하면 된다. 아래 사진을 기준으로 한다면 파란색 직선이 벡터함수이고 핑크색 곡선이 공간곡선이다. 우리는 보통 물리 현상을 다룰 때 시간에 의한 변화를 살펴보기 때문에 매개변수(parameter)로 시간(\(t\))를 잡은 것이다.

 

 

$$F(t) = f_{1}(t) \boldsymbol{i} + f_{2}(t) \boldsymbol{j} + f_{3}(t) \boldsymbol{k}$$

 

#2 곡선의 길이 (p.232)

2.1 평면에서 곡선의 길이

\(A(x_{i-1},\,f(x_{i-1})\) 와 \(B(x_{i},\, f(x_{i}))\) 사이의 거리는 피타고라스 정리에 따라 다음과 같다.

$$\Delta l = \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}}\cdots(1)$$

 

2.2 평균값 정리(Mean Value Theorem, MVT)

$$f(x_{i}) - f(x_{i-1}) = (x_{i} - x_{i-1})\cdot f^{\prime}(x_{i}^{*}) ~~~~~~~~~ x_{i-1} < x_{i}^{*} < x_{i}$$

 

위 평균값 정리를 정리해주면

$$\left[f(x_{i})-f(x_{i-1})\right]^{2} = \left[(x_{i}-x_{i-1})\cdot f^{\prime}(x_{i}^{*})\right]^{2}\cdots(2)$$

 

그럼 다시 피타고라스 정리로 전개한 식\((1)\)에 평균값 정리를 통해 구한 식\((2)\)을 대입한다.

$$\begin{aligned} \Delta l\ & = \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2} + (f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}} \\ \\ &= \sqrt{\left( x_{i}-x_{i-1}\right)^{2} + \left[ \left(x_{i}-x_{i-1}\right)\cdot f^{\prime}(x_{i}^{*})\right]^{2}} \\ \\ & = \sqrt{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}\left[1+\left\{f^{\prime}(x_{i}^{*})\right\}^{2}\right]} \\ \\ & = (x_{i}-x_{i-1})\sqrt{1+\left\{f^{\prime}(x_{i}^{*})^{2}\right\}} \\ \\ & = \Delta x_{i}\sqrt{1+\left\{f^{\prime}(x_{i}^{*})\right\}^{2}}\end{aligned}$$

 

그리고 여기에 극한을 적용해주면

$$L_{a}^{b} = \lim \limits_{\Delta l \rightarrow\,0} {\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1+\left\{f^{\prime}(x_{i}^{*})\right\}^{2}}\Delta x_{i}}} = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left\{f^{\prime}(x)\right\}^{2}}dx}$$

 

그리고 \(y = f(x)\)이므로 \(f^{\prime}(x)\)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$f^{\prime}(x) = \dfrac{dy}{dx}$$

 

동시에 \(dy\) 와 \(dx\) 를 사용하면 미소길이 \(ds\) 역시 기술 가능하다.

$$ds = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}}$$

 

$$L_{a}^{b} = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left\{f^{\prime}(x)\right\}^{2}}dx} = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}}dx} = \int_{a}^{b}{\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}} = \int_{a}^{b}{ds}$$

 

2.3 매개화(parameterize)

그 다음 해당 함수를 시간 \(t\) 에 대하여 매개화하면 다음과 같이 기술할 수 있다.

 

$$x^{\prime}(t) = \dfrac{dx}{dt} \Rightarrow dx = x^{\prime}(t)dt$$

$$y^{\prime}(t) = \dfrac{dy}{dt} \Rightarrow dy = y^{\prime}(t)dt$$

 

따라서 \(x(t_{1}) = a\) 이고 \(x(t_{2}) = b\) 일 때

 

$$L_{a}^{b} = \int_{a}^{b}{\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt{\left\{x^{\prime}(t)\right\}^{2} + \left\{y^{\prime}(t)\right\}^{2}}dt}$$

 

2.4 공간곡선(space curve)

2차원에서 다룬 것을 3차원으로 확장해보도록 하자.

 

그럼 3차원에서 벡터함수와 매개방정식은 아래와 같아진다.

$$R(t) = (x, y, z) = (f(t),\, g(t),\, h(t))$$

 

$$x = f(t),\, y = g(t),\, z = h(t)~~\cdots~~ a \leq t \leq b $$

 

그리고 미분형은 다음과 같다.

$$f^{\prime}(t) = \dfrac{dx}{dt}$$

 

따라서 공간곡선 \(C\)의 길이 \(l\)은 다음과 같다.

$$l =\int_{a}^{b}{\sqrt{\left[f^{\prime}(t)\right]^{2} + \left[g^{\prime}(t)\right]^{2} + \left[h^{\prime}(t)\right]^{2}}dt} = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\dfrac{dz}{dt}\right)^{2}}dt}$$

 

수학적인 관점에서는 순수하게 '곡선의 길이'를 구하는 것으로 끝나겠으나 우리는 이러한 길이를 구하는 목적을 잊으면 안된다. 이러한 작업은 곡선을 따라 1 kg의 상자를 일정한 힘 \(F\)로 이동시킬 때 들인 일(Work)에 적용할 수 있음을 알아두도록 하자. 단, 여기서 다룬 함수는 고등학교에서 다뤄온 \(y = f(x)\) 함수이므로 역학에 적용하기에는 제약이 많다.

 

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참고자료

미분적분학 (경문사) 07.03 길이와 넓이 p.232

미분적분학 (경문사) 10.01 벡터함수 p.360

미분적분학 (경문사) 10.02 곡선의 길이와 곡률 p.368

3주차. 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분: http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/

벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분