삼각함수의 미분: sine

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삼각함수의 미분 자체를 사용하진 않으나 4대 역학을 공부할 때 미분적분학이나 공학수학을 다시 확인해야 할 때가 종종 있는데 이때 삼각함수와 미분을 자주 사용하다보니 가장 기초적인 부분부터 하나 하나 정리해두려고 한다.

 

$f(x)=\sin x$

 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{h\rightarrow \,0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}} & =  \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{(x+h)-x}} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}\dfrac{(\sin x \cos h + \cos x\sin h)-\sin x}{(x+h)-x} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin x \cos h}{h} + \dfrac{\cos x \sin h}{h} - \dfrac{\sin x}{h}} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0} {\dfrac{\sin x (\cos h -1)}{h} + \dfrac{\sin h}{h}\cdot \cos x}\end{aligned}$

 

 

이때 아래와 같은 삼각함수의 극한 성질을 적용한다.

$$\lim \limits_{x \rightarrow \,0^{+}}{\frac{\sin x}{x}}= \lim \limits_{x \rightarrow \,0^{-}}{\frac{\sin x}{x}}= 1$$

 

 

그렇게 하면 위에서 전개하고 있던 식을 아래와 같이 간단하게 만들 수 있다.

 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{h\rightarrow \,0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}} & =  \lim \limits_{h \rightarrow \,0} {\dfrac{\sin x (\cos h -1)}{h} + \cos x} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin x (\cos h-1)(\cos h +1)}{h(\cos h +1)} + \cos x} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin x (\cos^{2} h - 1)}{h(\cos h + 1)}+\cos x} \end{aligned}$

 

 

그리고 이때 \(\sin^{2}h + \cos^{2}h = 1\)이므로

 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{h\rightarrow \,0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}} & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin x \cdot (-\sin^{2} h)}{h(\cos h +1)} + \cos x} \\ \\ & = \lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin h}{h}\dfrac{-\sin x \cdot \sin h}{(\cos h + 1)} + \cos x}\end{aligned}$

 

 

다시 삼각함수 극한의 성질을 적용하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

$\begin{aligned} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{h\rightarrow \,0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}} & = \lim \limits_{h\rightarrow \,0}{-\dfrac{\sin x \sin h}{\cos h +1} + \cos x} \\ \\ & =  \sin x \cdot \left( \lim \limits_{h\rightarrow \,0}{\dfrac{\sin h}{\cos h + 1}} \right) + \cos x \\ \\ & = 0 + \cos x\end{aligned}$

 

참고로, 위에서 분자가 0으로 가고 분모는 2로 수렴하므로 결국 0이 된다.

$$\lim \limits_{h \rightarrow \,0}{\dfrac{\sin h}{\cos h + 1}} = 0$$

 

따라서 사인함수를 미분하면 코사인 함수가 나온다는 것을 알 수 있다.

 

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참고자료

https://blog.naver.com/kuuungu4/223018621310

삼각함수 미분 (사인 미분, 코사인 미분, 탄젠트 미분) 도함수를 미분계수 공식으로 증명