스넬의 법칙(Snell's law)
파동이 하나의 매질에서 다른 종류의 매질로 진행할 때, 입사각의 사인 값과 굴절각의 사인값의 비가 항상 일정하다는 법칙이다. 1621년 네덜란드의 빌레브로르트 판 로에이언 스넬이 발견하여 '스넬의 법칙'이라고 한다. 빛 뿐만 아니라 파동에 대해서도 성립하는 법칙이다. 아래 그림에서 'n'은 굴절률(refractive index)를 의미한다. 이와 함께 다뤄지는 두 개의 개념을 추가로 다룰텐데 알아두면 스넬의 법칙을 이해하는데 도움이 된다.
1) 굴절률 (refractive index) n
빛의 속도와 어떤 매질의 위상 속도의 비
2) 페르마의 법칙 (Fermat's principle)
빛이 두 지점을 지날 때 최소 시간이 걸리는 경로로 진행한다는 법칙
스넬의 법칙은 피타고라스 법칙과 미분만 사용하면 간단히 증명할 수 있다.
점 A에서 경계면까지의 거리를 \(s_{1}\) 이라 하고, 다시 경계면에서 점 B까지의 거리를 \(s_{2}\) 라 하자.
$$s_{1}=v_{1}t_{1}=\sqrt{x^{2}+z^{2}} ~~ \Rightarrow ~~ t_{1}=\frac{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}{v_{1}}$$
$$s_{2}=v_{2}t_{2}=\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}} ~~ \Rightarrow ~~ t_{2}=\frac{\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}}}{v_{2}}$$
점 A에서 점 B로 이동하는데 걸린 시간을 \(t\) 라고 한다면 식을 아래처럼 정리할 수 있다.
$$t=t_{1}+t_{2}=\frac{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}}}{v_{2}}\cdots(a)$$
그 다음 \(t\) 의 극값을 찾기 위해 식 \((a)\) 를 \(z\) 에 대하여 미분해준다.
이는 빛은 최소시간이 걸리는 직선 경로를 따른다는 페르마의 법칙을 고려한 것이다.
$$\frac{d}{dz}(t_{1}+t_{2})=\frac{d}{dz}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}}}{v_{2}}\right) = 0 $$
위 식을 바탕으로 두 번째 항을 자세히 정리한다.
$$\frac{1}{v_{1}} \frac{d}{dz} (x^{2}+z^{2})^{1/2}+\frac{1}{v_{2}} \frac{d}{dz} \{y^{2}+(d-z)^{1/2}\} = 0$$
$$\frac{1}{v_{1}}\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{2(d-z)}{2\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}}}=0$$
$$\frac{1}{v_{1}}\frac{z}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}=\frac{1}{v_{2}}\frac{(d-z)}{\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}}}$$
이때
$$\sin\theta_{1}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}$$
$$\sin\theta_{2}=\frac{d-z}{\sqrt{y^{2}+(d-z)^{2}}}$$
이므로
$$\frac{1}{v_{1}}\sin\theta_{1}=\frac{1}{v_{2}}\sin\theta_{2}$$
그리고 굴절률의 정의에 따라 정리해주고자 양변에 빛의 속도 \(c\) 를 곱해준다.
이때 \(c\) 는 빛의 속도이므로 \(n_{1}\)이나 \(n_{2}\) 에서 모두 동일하다.
$$n=\frac{c}{v}$$
$$\frac{c}{v_{1}}\sin\theta_{1}=\frac{c}{v_{2}}\sin\theta_{2}$$
$$n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$$
참고자료
[1] 네이버 두산백과 '스넬의 법칙'
[2] 네이버 물리학백과 '굴절률'
[3] Wikipedia, Fermat's principle
[4] 나무위키 '페르마의 원리'
[5] YouTube Zach Wissner-Gross 'Deriving Snell's law'
[2021.08.11]에 작성한 글을 업로드 한 것입니다.